解：$(2)$∵$∠AOC=∠BOD=α$，$∠AOB=63°$
∴$∠AOD=63°+α$，$∠BOC=63°-α$
∵$∠COB$是$∠AOD$的内半角
∴$63°+α=2(63°-α)$
∴$α=21°$
∴当旋转角度$α$为$21°$时，$∠COB$是$∠AOD$的内半角
$(3)$能，当旋转的时间为$\frac {10}{3}\ \mathrm {s} $或$30s $或$90s $或$\frac {350}{3}\ \mathrm {s} $时，
射线$OA$，$OB$，$OC$，$OD$能构成内半角，理由如下：
设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为$t$
∵$∠BOC$是$∠AOD$的内半角，$∠AOC=∠BOD=α$
∴$∠AOD=30°+α$
∴$\frac {1}{2}(30°+α)=30°-α$
∴$a=10°$，∴$t=\frac {10}{3}s$
如图$(2)$，∵$∠BOC$是$∠AOD$的内半角，
$∠AOC=∠BOD=α$
∴$∠AOD=30°+α$
∴$\frac {1}{2}(30°+α)=α-30°$，∴$α=90°$
∴$t=\frac {90}{3}=30(\mathrm {s})$
如图$(3)$，∵$∠AOD$是$∠BOC$的内半角
$∠AOC=∠BOD=360°-α$
∴$∠BOC=360°+30°-α$
∴$\frac {1}{2}(360°+30°-α)=360°-α-30°$
∴$α=270°$
∴$t=\frac {270}{3}=90(\mathrm {s})$
$ $如图$(4)$，∵$∠AOD$是$∠BOC$的内半角，
$∠AOC=∠BOD=360°-α$
∴$∠BOC=360°+30°-α$
∴$\frac {1}{2}(360°+30°-α)=30°-(360°-α)$
∴$α=350°$
∴$t=\frac {350}{3}\ \mathrm {S}$
综上所述，当旋转的时间为$\frac {10}{3}\ \mathrm {s} $或$30s $或$90s $或$\frac {350}{3}\ \mathrm {s} $时，
射线$OA$，$OB$，$OC$，$OD$能构成内半角$ $
