解：$(1)$∵$OF $平分$∠AOE$
∴$∠AOF=∠FOE=\frac {1}{2}∠AOE=\frac {1}{2}×110°=55°$
∵$∠COF=90°$，∴$∠AOC=90°-55°=35°$
∴$∠DOB=∠AOC=35°$
$(2)OD$平分$∠BOE$，理由如下：
∵$OF $平分$∠AOE$，∴$∠AOF=∠FOE.$
∵$∠COF=∠DOF=90°$，
即$∠AOC+∠AOF=90°=∠DOE+∠EOF$，
∴$∠AOC=∠DOE.$
又$∠AOC=∠BOD$，∴$∠DOE=∠BOD$，
即$OD$平分$∠BOE.$
