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解：设这个角的度数是$x$，则它的余角

为$90°-x$，补角为$180°-x$

∵这个角的余角比它的补角的一半小$20°$

∴$90°-x=\frac {1}{2}(180°-x)-20°$

解得$x=40°$

故这个角的度数是$40°$

解：$(1)$∵$∠AEC+∠BEC=180°$，

且$EF$，$EG $分别平分$ ∠AEC$和$∠BEC$

∴$∠FEC+∠CEG=\frac {1}{2}(∠AEC+∠BEC)$

$=\frac {1}{2}×180°=90°$

∴$EF⊥EG$

$(2)$由$(1)$知，$EF⊥EG$

∴$∠FEG=90°$

∵$∠AEF= 66°$

∴$∠BEG= 180°-∠AEF-∠FEG=24°$

解：$(1)①$∵$OF⊥CD$于点$O$

∴$∠DOF=90°$

∵$∠BOD=20°$

∴$∠BOF=90°-20°=70°$

∵$∠BOE=130°$

∴$∠EOF=∠BOE-∠BOF=130°-70°=60°$

则$∠EOF $的度数为$60°$

②∵$OF $平分$∠BOE$

∴$∠EOF=∠BOF=\frac {1}{2}∠EOB$

∵$OF⊥CD$

∴$∠COF=90°$

∴$∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°$

∴$∠COE=∠AOC$，即$OC$平分$∠AOE$

$(2)3∠AOC+2∠BOE=270°$或$∠AOC+2∠BOE=270°$

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