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解：$(1)$∵$∠COD=90°$

∴$∠AOC+∠BOD=180°- 90°=90°$

∵$∠AOC=50°$

∴$∠BOD=90°-50°=40°$

∴$∠BOC=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°$

∵$OE$平分$∠BOC$

∴$∠BOE=\frac {1}{2}∠BOC=65°$

∴$∠DOE=65°-40°=25°$

$(2)$由$(1)$可知，$∠AOC+∠BOD=90°$，

∵$∠AOC=α$，∴$∠BOD=90°-α$

∴$∠BOC=180°-α$

∵$OE$平分$∠BOC$

∴$∠BOE=\frac {1}{2}∠BOC=90°-\frac {1}{2}α$

∴$∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-\frac {1}{2}α-(90°-α)=\frac {1}{2}α$

$(3)(2)$中的结论还成立，理由如下：

∵$∠AOC+∠BOC=180°$，$∠AOC=α$

∴$∠BOC=180°-α$

∵$OE$平分$∠BOC$

∴$∠EOC=\frac {1}{2}∠BOC=90°-\frac {1}{2}α$

∵$∠COD=90°$

∴$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-(90°-\frac {1}{2}α)=\frac {1}{2}α$

$(4)$∵$∠AOC+∠BOC=180°$，$∠AOC=α$

∴$∠BOC=180°-α$

∵$OE$平分$∠BOC$

∴$∠EOC=\frac {1}{2}∠BOC=90°-\frac {1}{2}α$

∵$∠COD=90°$

∴$∠DOE=∠COD+∠COE=180°-\frac {1}{2}α$

解：$(1)$∵点$D$，$E$在直线$MN$上运动，

$CE$平分$∠BCD$，$∠ACB=90°$

∴点$E$在点$A$的右侧

∵点$D$在点$A$左侧

∴$∠CAD+∠CAE=180°$

$(2)$∵点$D$，$E$在直线$MN$上运动，

$CE$平分$∠BCD$，$∠ACB=90°$

∴点$E$在点$A$的右侧

∵$△CDE$是直角三角形

∴$∠CDE=90°$或$∠CED=90°$

$①$若$∠CDE=90°$，如图$(1)$

则$∠CAD=∠CAE=60°$，$∠CDA=∠CDE=90°$

∴$∠ACD=180°-∠CDA-∠CAD=30°$

∵$∠ACB=90°$

∴$∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°$

∵$CE$平分$∠BCD$

∴$∠DCE=∠ECB=\frac {1}{2}∠BCD=30°$

$②$若$∠CED=90°$，如图$(2)$

∵$∠CAE=60°$

∴$∠ACE=180°-∠CEA-∠CAE=30°$

∵$∠ACB=90°$

∴$∠BCE=∠ACB-∠ACE=60°$

∵$CE$平分$∠BCD$

∴$∠DCE=∠ECB=60°$

综上所述，$∠DCE=30°$或$∠DCE=60°$

$(3)$探究$∠ACE$与$∠ACD$的数量关系

∵点$D$，$E$在直线$MN$上运动，

$CE$平分$∠BCD$，$∠ACB=90°$

∴点$E$在点$A$的右侧

$①$点$D$在点$A$左侧时，如图$(3)$

∵$CE$平分$∠BCD$

∴$∠ACD+∠ACE=∠BCE$

∵$∠BCE=∠ACB-∠ACE=90°-∠ACE$

∴$∠ACD+∠ACE=90°-∠ACE$，

即$∠ACD+2∠ACE=90°$

$ ②$点$D$在点$A$右侧时，如图$(4)$

∵$CE$平分$∠BCD$

∴$∠DCE=∠ECB=\frac {1}{2}∠BCD$

∵$∠ACE+∠ECB=∠ACB=90°$

∴$∠ACD+∠BCD=∠ACD+2∠BCE=∠ACB=90°$

则$∠ACD+2(90°-∠ACE)=90°$

即$2∠ACE-∠ACD=90°$

综上所述，$∠ACE$与$∠ACD$的数量关系为

$∠ACD+2∠ACE=90°$或$2∠ACE-∠ACD=90°$

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