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解：$(1)$直线$ON$平分$∠AOC$，理由如下：

$ $如图$(1)$，延长$NO$到点$D$

∵$∠MON=90°$，∴$∠MOD=90°$

∴$∠MOB+∠NOB=90°$，$∠MOC+∠COD=90°$

又$OM$平分$∠BOC$

∴$∠MOB=∠MOC$，∴$∠NOB=∠COD$

∴$∠COD=∠AOD$

∴直线$NO$平分$∠AOC$

$(2)$分两种情况：

$ ①$如图$(1)$，∵$∠BOC=112°$，∴$∠AOC=68°$

当直线$ON$恰好平分锐角$∠AOC$时，

$∠AOD=∠COD=34°$

∴$∠BON=34°$，$∠BOM=56°$，

即逆时针旋转的角度为$56°$

由题意，得$4°×t=56°$，解得$t=14$

$②$如图$(2)$，当直线$NO$平分$∠AOC$时，

$∠NOA=34°$，∴$∠AOM=56°$

即逆时针旋转的角度为$180°+56°=236°$

由题意，得$4°×t=236°$，解得$t=59$

综上所述，$t $的值为$14$或$59$时，

直线$ON$恰好平分锐角$∠AOC$

$(3)∠AOM-∠NOC=22°$，理由如下：

∵$∠AOM=90°-∠AON$，$∠NOC=68°-∠AON$

∴$∠AOM-∠NOC$

$= (90°-∠AON)-(68°-∠AON)$

$=90°-68°=22°$

解：$(1)$∵$EM$平分$∠AEF$，∴$∠AEM=∠MEF$

又$∠FEM=∠FME$

∴$∠AEM=∠EMF$，∴$AB//CD$

$(2)①$∵$AB//CD$，$β=50°$

∴$∠AEG=130°$

又$EH$平分$∠FEG$，$EM$平分$∠AEF$

∴$∠HEF=\frac {1}{2}∠FEG$，$∠MEF=\frac {1}{2}∠AEF$

∴$∠MEH=\frac {1}{2}∠AEG=65°$

又$HN⊥ME$

∴$∠EHN=90°-65°=25°$，即$α=25°$

②分两种情况讨论：

当点$G $在点$F $的右侧时，$α=\frac {1}{2}β$

∵$AB//CD$，∴$∠AEG=180°-β$

又$EH$平分$∠FEG$，$EM$平分$∠AEF$

∴$∠HEF=\frac {1}{2}∠FEG$，$∠MEF=\frac {1}{2}∠AEF$

∴$∠MEH=\frac {1}{2}∠AEG=\frac {1}{2}(180°-β)$

又$HN⊥ME$

∴在$Rt△EHN $中，$∠EHN=90°-∠MEH$

$=90°-\frac {1}{2}(180°-β)=\frac {1}{2}β$

即$α=\frac {1}{2}β$

当点$G $在点$F $的左侧时，$α=90°-\frac {1}{2}β$

∵$AB//CD$，∴$∠AEG=∠EGF=β$

又$EH$平分$∠FEG$，$EM$平分$∠AEF$

∴$∠HEF=\frac {1}{2}∠FEG$，$∠MEF=\frac {1}{2}∠AEF$

∴$∠MEH=∠MEF-∠HEF$

$=\frac {1}{2}(∠AEF-∠FEG)=\frac {1}{2}∠AEG=\frac {1}{2}β$

又$HN⊥ME$

∴$∠EHN=90°-∠MEH$，即$α=90°-\frac {1}{2}β $

综上，$α=\frac {1}{2}β$或$α=90°-\frac {1}{2}β$

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