解：$(2)$由一个角的$“$虚学线$”$的定义可知，
当$∠AOP= \frac {1}{3}∠AOB $或$∠AOP=\frac {2}{3}∠AOB $
或$∠AOP=\frac {1}{3}∠BOP $或$∠AOP=3∠BOP $时
射线$OP $是$∠AOB$的$“$虚学线$” $
当$∠AOP=\frac {1}{3}∠AOB$时，由$∠AOP=30°$
得$∠AOB=3×30°=90°$
$ $当$∠AOP=\frac {2}{3}∠AOB$时，由$∠AOP=30°$
得$∠AOB=\frac {3}{2}×30°=45°$；
当$∠AOP=\frac {1}{3}∠BOP $时，由$∠AOP=30°$，
得$∠BOP=3×30°=90°$
∴$∠AOB=30°+90°=120°$
当$∠AOP=3∠BOP $时，得$∠BOP=10°$
∴$∠AOB=30°+10°=40°.$
综上，$∠AOB$的度数为$45°$或$90°$或$120°$或$40°$
$(3)$由题意，得$∠AOC=15t°$，$∠BOD=10t°$
当$OC$与$OD$重合前，旋转的时间$t $秒的取值范围
为$0≤t＜\frac {160}{15+10}$，即$0≤t＜6.4$，如图$(1)$
∵$OE$平分$∠COD$
∴$∠COE=∠DOE=\frac {1}{2}∠COD$
$=\frac {1}{2}(160-10t-15t)°=(\frac {160-25t}{2})°$
由于$∠AOE＞∠DOE$
则当$∠AOE=2∠DOE$或$∠AOE=3∠DOE$时，
射线$OE$是$∠AOD$的$“$虚学线$”$，
即$15t+\frac {160-25t}{2}=\frac {160-25t}{2}×2$
或$15t+\frac {160-25t}{2}=\frac {160-25t}{2}×3$，
解得$t=\frac {32}{11}$或$t=4$
当$OC$与$OD$重合后，旋转的时间$t $秒的取值范围
为$6.4＜t≤\frac {160}{15}$，即$6.4＜t≤\frac {32}{3}$，如图$(2)$
∵$OE$平分$∠COD$
∴$∠COE=∠DOE=\frac {1}{2}∠COD$
$=\frac {1}{2}(10t+15t-160)°=(\frac {25t-160}{2})°$
$ $当$∠AOD=2∠DOE$或$∠AOD=3∠DOE$时，
射线$OD$是$∠AOE$的$“$虚学线$”$，
即$160-10t=2×\frac {25t-160}{2}$或$160-10t=3×\frac {25t-160}{2}$
解得$t=\frac {64}{7}$或$t=\frac {160}{19}$
$ $当$2∠AOD=∠DOE$或$3∠AOD=∠DOE$时，
射线$OD$是$∠AOE$的$“$虚学线$”$，
即$2(160-10t)=\frac {25t-160}{2}$或$3(160-10t)=\frac {25t-160}{2}$
解得$t=\frac {160}{13}＞\frac {160}{15}($舍去$)$或$t=\frac {224}{17}＞\frac {160}{15}($舍去$)$
综上所述，当射线$OA$，$OD$，$OE$中的一条射线是
另两条射线组成的角的“虚学线”时，
$t $的值为$\frac {32}{11}$或$4$或$\frac {64}{7}$或$\frac {160}{19}$
