解：$(1)$当运动时间为$t $秒时，点$P $对应的数为$t$，
点$Q $对应的数为$2t-10$
∴$PQ=|t-(2t-10)|=|t-10|$
$ $当$t=2$时，$PQ=|2-10|=8$；
$ $当$t=12$时，$PQ=|12-10|=2$
则当$t=2$时，线段$PQ $的长度为$8$，
当$t=12$时，线段$PQ $的长度为$2$
$(2)$根据题意，得$|t-10|=5$
解得$t=5$或$t=15$
当$t=5$时，点$Q $对应的数为$2t-10=0$；
$ $当$t=15$时，点$Q $对应的数为$2t-10=20$
则当$PQ=5$时，$t $的值为$5$或$15$，
此时点$Q $所对应的数为$0$或$20$
$(3)$存在，理由如下：
当运动时间为$t $秒时，点$P $对应的数为$t$
点$Q $对应的数为$\begin {cases}{2t-10(0＜t≤15)}\\{20-2(t-15)(15＜t≤30)}\end {cases}$
当$0＜t≤15$时，$PQ=|t-(2t-10)|=|t-10|$
$|t-10|=8$，解得$t_{1}=2$，$t_{2}=18($舍去$)$；
当$15＜t≤30$时，$PQ=|t-[20-2(t-15)] |=|3t-50|$
∴$|3t-50|=8$
解得$t_{3}=\frac {58}{3}$，$t_{4}=14($舍去$)$
综上，在点$Q $的整个运动过程中，存在合适的$t $值，
使得$PQ=8$，此时$t $的值为$2$或$\frac {58}{3}$
