解：观察，发现规律：$n(n+1)=\frac {1}{3}[n(n+1)(n+2)- (n-1)n(n+1)]$
$(1)1×2+2×3+3×4+···+49×50=\frac {1}{3}×(1×2×3-0×1×2)+\frac {1}{3}×(2×3×4-1×2×3)$
$+\frac {1}{3}×(3×4×5-2×3×4)+···+\frac {1}{3}×(49×50×51-48×49×50)$
$=\frac {1}{3}×49×50×51$
$=41650$
$(3)$观察，发现规律：$1×2×3=\frac {1}{4}×(1×2×3×4- 0×1×2×3)$，
$2×3×4=\frac {1}{4}×(2×3×4×5-1×2×3×4)$，
$3×4×5=\frac {1}{4}×(3×4×5×6-2×3×4×5)$，···
∴$n(n+1)(n+2)=\frac {1}{4}[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]$
∴原式$=\frac {1}{4}×(1×2×3×4-0×1×2×3)+\frac {1}{4}×(2×3×4×5-1×2×3×4)$
$+\frac {1}{4}×(3×4×5×6-2×3×4×5)+···+\frac {1}{4}×(15×16×17×18-14×15×16×17)$
$=\frac {1}{4}×15×16×17×18$
$=18360$
