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解：$(1)$设购买乒乓球$x$盒

甲：$100×5+(x-5)×25=25x+375$

乙：$0.9×100×5+0.9x×25=22.5x+450$

当$25x+375=22.5x+450$时，解得$x=30$

故当购买乒乓球$30$盒时，两种优惠方式付款一样

$(2)$当买$20$盒乒乓球时

甲：$25×20+375=875($元$)$

乙：$22.5×20+450=900($元$)$

∵$875<900$，∴去甲商店购买更合算

$ $当买$40$盒乒乓球时

甲：$25×40+375=1375($元$)$

乙：$22.5×40+450=1350($元$)$

∵$1375>1350$，∴去乙商店购买更合算

解：$(1)$设乙的速度是每分钟$x$米，则甲的速度是每分钟$(x+200)$米

依题意有$3x+150=200×3$

解得$x=150$

则$x+200=150+200=350$

故甲的速度是每分钟$350$米，乙的速度是每分钟$150$米

$(2)(200×3-300×1.2)÷1.2=(600-360)÷1.2=240÷1.2=200($米$/$分钟$)$

$ 200-150=50($米$/$分钟$)$

$ $故乙的速度每分钟至少要提高$50$米