解：$(1)$设应按$x$折销售
由题意，得$80×(1+50\%)×0.1x-80=80×20\%$
解得$x=8$
故应按$8$折销售
$(2)①$设剩余的衬衫按$a$折销售
由题意，得$80×(1+50\%)×400+80×(1+50\%)×0.1a×(500-400)-80×500=80×35\%×500$
解得$a=5$
$ $故剩余的衬衫按$5$折销售，才能使售完这批衬衫后盈利$35\%$
$ ②$设购买一件送$b$元打车费
由题意，得$80×(1+50\%)×0.9×500-(500-300)b-80×500=80×25\%×500$
解得$b=20$
$ $故购买一件送$20$元打车费，售完这批衬衫后可盈利$25\%$
