解：$(2)$线段$MN$的长度不发生变化，理由如下：
设点$P $运动时间为$t$
$①$当点$P $在点$A$，$B$之间时，$PA=t$，$PB=6-t$
点$M$为$PA$的中点，则$PM=AM=\frac {t}{2}$
点$N$为$PB$的中点，则$PN=BN=\frac {6-t}{2}$
$MN=PM+PN=\frac {t}{2}+\frac {6-t}{2}=3$
$②$当点$P $运动到点$B$的右边时，$PA=t$，$PB=t-6$
点$M$为$PA$的中点，则$PM=AM=\frac {t}{2}$
点$N$为$PB$的中点，则$PN=BN=\frac {t-6}{2}$
$MN=PM-PN=\frac {t}{2}-\frac {t-6}{2}=3$
故线段$MN$的长度不发生变化
