解：$(2)$设运动$t $秒时，点$P$，$Q $之间的距离恰好等于$4$
根据题意，得$5t+3t=30-4$或$5t+3t=30+4$
解得$t=\frac {13}{4}$或$t=\frac {17}{4} $
故点$P$，$Q $同时出发$\frac {13}{4}$秒或$\frac {17}{4}$秒时，点$P$，$Q $之间的距离恰好等于$4$
$(3)$设点$P $运动$t $秒时追上点$Q$
根据题意，得$3t+30=5t$，解得$t=15$
故点$P$，$Q $同时出发，点$P $运动$15$秒时追上点$Q$
$(4)$∵点$M$为$AP $的中点，点$N$为$BP $的中点
∴$MP=\frac {1}{2}AP$，$NP=\frac {1}{2}BP$
$①$如图$(1)$，当点$P $在$A$，$B$两点之间运动时
$MN=MP+NP=\frac {1}{2}\ \mathrm {AP}+\frac {1}{2}\ \mathrm {BP}=\frac {1}{2}(AP+BP)=\frac {1}{2}AB=15$
$ ②$如图$(2)$，当点$P $运动到点$B$左侧时
$MN=MP-NP=\frac {1}{2}\ \mathrm {AP} -\frac {1}{2}\ \mathrm {BP}=\frac {1}{2}(AP- BP)=\frac {1}{2}AB=15$
∴线段$MN$的长度不发生变化，长度为$15$
