解：$(1)$∵$∠COE=90°$，$∠COF=37°$
∴$∠EOF=90°-37°=53°$
∵$OF $平分$∠AOE$
∴$∠AOE=53°×2=106°$
∴$∠EOB=180°-106°=74°$
$(2)$∵$∠COD=180°$，$∠COE=90°$
∴$∠EOD=90°$
∴$∠FOD=180°-37°=143°$
设$x$分钟后射线$OF $与射线$OD$第一次重合
由题意，得$6x-0.5x=143$
解得$x=26$
故$26$分钟后，射线$OF $与射线$OD$第一次重合
