第127页 - 启东中学作业本七年级数学人教版

解：$(1)$∵$OM$平分$∠AOC$，$ON $平分$∠BOD$

∴$∠COM=\frac {1}{2}∠AOC$，$∠DON=\frac {1}{2}∠BOD $

∴$∠MON=∠COM+∠COD+∠DON =\frac {1}{2}(∠AOC+∠BOD)+∠COD $

$=\frac {1}{2}(∠AOB-∠COD)+∠COD =\frac {1}{2}(∠AOB+∠COD)$

$(2)$∵$OM$平分$∠AOD$，$ON$平分$∠BOC$

∴$∠DOM=\frac {1}{2}∠AOD$，$∠CON=\frac {1}{2}∠BOC$

∴$∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD =\frac {1}{2}(∠AOD+∠BOC)-∠COD $

$=\frac {1}{2}(∠AOB+∠COD)-∠COD =\frac {1}{2}(∠AOB-∠COD)$

解：$(1)$相等，理由如下：

∵$∠AOC$与$∠AOB$互补，∴$∠AOC+∠AOB=180°$

∵$∠AOC+∠COD=180°$，∴$∠COD=∠AOB$

$(2)$∵$∠AOB$与$∠AOC$互补，$∠AOB=30°$

∴$∠AOC=180°-30°=150°$

∵$OM$为$∠AOC$的平分线，∴$∠AOM=75°$

∵$ON$为$∠AOB$的平分线，∴$∠AON=15°$

∴$∠MON=∠AOM-∠AON=75°-15°=60°$

$(3)$∵$∠MON=α$，∴$∠AOM-∠AON=α$

∴$\frac {1}{2}∠AOC-\frac {1}{2}∠AOB=α$

∴$∠AOC-∠AOB=2α$

∴$∠AOC-(180°-∠AOC)=2α$

∴$2∠AOC=180°+2α$，∴$∠AOC=90°+α$

解：$(1)$∵$∠COD=15°$，$∠COD=\frac {1}{5}∠COB$

∴$∠COB=75°$，∴$∠BOD=∠COB-∠COD=60°$

∵$OB$平分$∠AOD$，∴$∠BOD=∠AOB=60°$

∴$∠AOD=∠BOD+∠AOB=120°$

$(2)$由$(1)$知$∠BOD=60°$

∵$∠DOE=\frac {1}{3}∠BOD$，∴$∠DOE=20°.$

$①$当$OE$在$OD$左侧时，如图

此时，$∠AOE=∠AOD+∠DOE=140°$

$②$当$OE$在$OD$右侧时，如图

此时，$∠AOE=∠AOD-∠DOE=100°$

综上所述，$∠AOE$的度数为$140°$或$100°$