解：$(1)$∵$∠AOD=α=150°$，∴$∠BOD=180°-∠AOD=30°$
∵$OD$平分$∠BOC$，∴$∠DOC=∠BOD=30°$
∴$∠AOC=∠AOD-∠DOC=150°-30°=120°$
$(2)$证明：∵在$∠AOD$的内部画射线$OE$，$∠BOE= 90°$
∴$∠BOD+∠DOE=90°$
∵$OD$平分$∠BOC$，∴$∠DOC=∠BOD$
∴$∠DOC+∠DOE=90°$，∴$∠DOE$与$∠DOC$互余
$(3)$当射线$OE$在$∠AOD$内部时，如图①
∵$OD$平分$∠BOC$，∴$∠DOC=∠BOD$
∵$∠DOE+∠DOC=90°$
∴$∠DOE+∠BOD=90°$，∴$∠BOE=90°$
当射线$OE$在$∠AOD$外部时，如图②
∵$∠AOD=α$，∴$∠BOD=180°-α$
∵射线$OD$平分$∠BOC$
∴$∠BOC=2∠BOD=2(180°-α)$
∵$∠DOE+∠DOC=90°$，即$∠EOC=90°$
∴$∠BOE=90°-2(180°-α)=2α-270°$
∴$∠BOE=90°$或$BOE=2α-270°$
