解：$(1)$当$n=2$时，多项式为$x^{m+2}-3x^2+2x$
∵该多项式是关于$x$的三次三项式
∴$m+2=3$，解得$m=1$
$(2)$∵该多项式是关于$x$的二次单项式
∴$m+2=1$，$n-1=-2$
解得$m=-1$，$n=-1$
$(3)$∵该多项式是关于$x$的二次二项式
∴$m$，$n$要满足$n=1$，$m $为大于$2$的任意整数
或$m=-1$，$n≠-1$或$m=0$，$n≠4$
