解：$(1)$∵一元一次方程$4x=m $是$“$差解方程$”$
∴$x=m-4$是该方程的解
∴$m-4=\frac {m}{4}$，解得$m=\frac {16}{3}$
$(2)$∵一元一次方程$-3x=mn+n$是$“$差解方程$”$
∴$x=mn+n+3$是该方程的解
又∵该方程的解是$x=n$
∴$n=mn+n+3$，∴$mn=-3$
把$x=n$，$mn=-3$代回原方程得$-3n=-3+n$，∴$n=\frac {3}{4}$
将$n=\frac {3}{4}$代入$mn=-3$中，得$m=-4$
