解：$(1)$设点$A$的速度为$t\mathrm {cm}/s$，则点$B$的速度为$4t\mathrm {cm}/s$
由题意，得$ 3t+3×4t=15$，解得$t=1$
$3t=3×1=3$，$3×4t=3×4×1=12$
∴点$A$在数轴上对应的数是$-3$，点$B$在数轴上对应的数是$12.$
$(2)$设经过$xs$，原点恰好处在两个动点的正中间
由题意，得$3+x=12-4x$
解得$x=1.8$
答：经过$1.8s$，原点恰好处在两个动点的正中间.
