解：$(1)$设乙工程队要粉刷$x$天才能完成这项工程
由题意得$240x=160(x+20)$
解得$x=40$，$240×40=9600($个$)$
答：这个小区共有$9600$个房间$.$
$(2)$设甲工程队的工作时间为$y$天，则乙工程队的工作时间为$(2y+4)$天
由题意得$ 160y+240y+240×(1+25\%)(2y+4-y)=9600$
解得$y=12$
$2y+4=2×12+4=28($天$)$
答：乙工程队共粉刷$28$天$.$
$(3)$方案$1$：由甲工程队单独完成，时间：$9600÷160=60($天$)$，费用：$60×1600=96000($元$)$
方案$2$：由乙工程队单独完成，时间：$9600÷240=40($天$)$，费用：$40×2600=104000($元$) $
方案$3$：按$(2)$问方式完成，时间：$28$天，费用：$12×1600+28×2600=92000($元$)$
∵$28＜40＜60$，且$92000＜96000＜104000$
∴方案$3$最合适
答：选择方案$3$可以既省时又省钱$.$
