解：$(1)$∵$∠AOB=90°$，$∠BOC=30°$
∴$∠AOC=90°+30°=120°$
由角平分线的定义可知$ ∠MOC=\frac {1}{2}∠AOC=60°$，$∠CON=\frac {1}{2}∠BOC=15°$
∴$∠MON=∠MOC-∠CON=60°-15°=45°$
$(2)$∵$∠AOB=α$，$∠BOC=30°$，∴$∠AOC=α+30°$
由角平分线的定义可知$∠MOC=\frac {1}{2}∠AOC=\frac {1}{2}α+15°$，$∠CON=\frac {1}{2}∠BOC=15°$
∴$∠MON=∠MOC-∠CON=\frac {1}{2}α+15°-15°=\frac {1}{2}α$
$(3)$∵$∠AOB=90°$，$∠BOC=β$
∴$∠AOC=β+90°$
由角平分线的定义可知$∠MOC=\frac {1}{2}∠AOC=\frac {1}{2}β+45°$，$∠CON=\frac {1}{2}∠BOC=\frac {1}{2}β$
∴$∠MON=∠MOC-∠CON=\frac {1}{2}β+45°-\frac {1}{2}β=45°$
$(4)$根据$(1)(2)(3)$的结果可知$∠MON=\frac {1}{2}∠AOB$，与$ ∠BOC$的度数无关
