解：$(1)$∵$∠COD=90°$，$∠COE=25°$
∴$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-25°=65°$
∵$OE$为$∠AOD$的平分线
∴$∠AOD=2∠DOE=130°$
∴$∠BOD=180°-∠AOD=50°$
$(2)$∵$∠COD=90°$
∴$∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°$
∵$OE$为$∠AOC$的平分线，$OF $平分$∠BOD$
∴$∠EOC=\frac {1}{2}∠AOC$，$∠DOF=\frac {1}{2}∠BOD$
∴$∠EOF=∠COD+∠EOC+∠DOF$
$=90°+\frac {1}{2}(∠AOC+∠BOD)=135°$
$(3)$分两种情况：$ $当$OF $在$∠EOD$的内部时
∵$∠COD=90°$，$OF $平分$∠COD$
∴$∠COF=\frac {1}{2}∠COD=45°$
∴$∠COE=∠COF-∠EOF=45°-10°=35°$
∵$OC$平分$∠AOE$
∴$∠AOC=∠COE=35°$
∴$∠BOD=180°-∠AOC-∠COD$
$=180°-35°-90°=55°$
当$OF $在$∠EOD$的外部时
∵$∠COD=90°$，$OF $平分$∠COD$
∴$∠COF=\frac {1}{2}∠COD=45°$
∴$∠COE=∠COF+∠EOF=45°+10°=55°$
∵$OC$平分$∠AOE$
∴$∠AOC=∠COE=55°$
∴$∠BOD=180°-∠AOC-∠COD$
$=180°-55°-90°=35°$
综上所述，$∠BOD$的度数为$55°$或$35°$
