解：$(1)$∵$∠AOC=70°$，$OD$平分$∠AOC$
∴$∠AOD=35°$
∴$∠DOB=180°-∠AOD=145°$
$(2)$∵$∠AOC=70°$
∴$∠BOC=180°-70°=110°$
①∵$70÷6=\frac {35}{3}($秒$)$，$110÷4=\frac {55}{2}($秒$)$
$ $当$0＜t≤\frac {35}{3}$时，如图①，$∠BON=110°-4t$，$∠COM=70°-6t$
∵$∠BON=2∠COM$
∴$110°-4t=2(70°-6t)$，∴$t=\frac {15}{4} $
当$\frac {35}{3}＜t≤\frac {55}{2}$时，如图②，$∠BON=110°-4t$，$∠COM=6t-70°$
∵$∠BON=2∠COM$
∴$110°-4t=2(6t-70°)$，∴$t=\frac {125}{8}$
综上，$t=\frac {15}{4}$或$\frac {125}{8}$
②存在
∵$∠AOM=6t$，$∠BON=110°-4t$，且$OP $平分$∠AOM$，$OQ $平分$∠BON$
∴$∠AOP=3t$，$∠NOQ=55°-2t$
∴$∠COP=70°-3t$，$∠COQ=4t+55°-2t=55°+2t$
∵$OC$平分$∠POQ$
∴$70°-3t=55°+2t$
∴$t=3$
∴当$t=3$时，$OC$平分$∠POQ$
