$解：(2) \sqrt{2 x+3}=x， $
$方程两边平方， 得 2 x+3=x^2， $
$即 x^2-2 x-3=0，(x-3)(x+1)=0， $
$\therefore x-3=0 或 x+1=0 . $
$\therefore x_1=3， x_2=-1. $
$当 x=-1 时， \sqrt{2 x+3}=\sqrt{1}=1 \neq-1， $
$\therefore-1 不是原方程的解. $
$\therefore 方程 \sqrt{2 x+3}=x 的解是 x=3 $
$(3) \because 四边形 A B C D 是矩形 $
$∴∠A=\angle D=90^{\circ}， A B=C D=3\ \mathrm {m}. $
$设 A P=x\ \mathrm {m}， 则 P D=(8-x)\ \mathrm {m}.$
$\because B P+C P=10\ \mathrm {m}， B P=\sqrt{A P^2+A B^2}， C P=\sqrt{C D^2+P D^2}，$
$ \therefore \sqrt{9+x^2}+\sqrt{(8-x)^2+9}=10 .$
$ \therefore \sqrt{(8-x)^2+9}=10-\sqrt{9+x^2}. $
$两边平方， 得 (8-x)^2+9=100-20 \sqrt{9+x^2}+9+x^2. $
$整理， 得 5 \sqrt{x^2+9}=4 x+9. $
$两边平方并整理， 得 x^2-8 x+16=0，$
$即 (x-4)^2=0， $
$\therefore x_1=x_2=4. $
$经检验， x_1=x_2=4 是方程的解. $
$\therefore A P 的长为4m。$
