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$ 解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相交于点D、E、F，$

$ ∴AE=AF，BF=BD，CD=CE，$

$ 设AF=x，则AE=x，BF=BD=AB-AF=8-x，$

$ ∴CE=CD=CA-AE=10-x，∵BD+CD=BC，$

$ ∴8-x+10-x=12，解得x=3，$

$ ∴AF=3，BD=5，CE=7．$

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$证明：(1)如图，连接OP．$

$∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，$

$∴PA=PC，OA⊥PA，$

$∵OA=OC，OP=OP，PA=PC，$

$∴△OPA≌△OPC(\mathrm {SSS}).∴∠AOP=∠POC，$

$∵QP⊥PA，OA⊥PA，∴QP//BA，$

$∴∠QPO=∠AOP，∴∠QOP=∠QPO，$

$∴OQ=PQ．$

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