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$ 解：(1)连接AO$

$因为AB是圆O的切线，所以OA⊥AB$

$所以∠OAB=90°$

$因为∠DAC=90°，所以∠DAC=∠OAB$

$因为AB=AC，所以∠B=∠C$

$所以△ABO≌△ACD$

$所以AD=AO=DO，所以△ADO是等边三角形$

$所以∠ADO=60°，所以∠ACB=30°$

$证明：(1)连接OC$

$因为CD与圆O相切于点C$

$所以∠OCD=90°$

$因为∠D=30°$

$所以∠COD=90°-∠D=60°$

$所以∠A=\frac {1}{2}∠COD=30°$

$所以∠A=∠D=30°$

$所以CA=CD.$

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$解：(1)优弧\widehat {AB}的长为\frac {{(360-135)π×24}}{{180}}=30π(\ \mathrm {cm})，$

$优弧\widehat {CD}的长为\frac {{(360-135)π×12}}{{180}}=15π(\ \mathrm {cm})，$

$至少需要花边的长度为30\pi +15\pi =45\pi (\ \mathrm {cm}).$

$(2)灯罩的侧面积=S_{阴影}$

$=(\pi \times 24^2-S_{扇形OAB})-(\pi \times 12^2-S_{扇形OCD})$

$=\frac {{(360-135)π×{{24}^2}}}{{360}}-\frac {{(360-135)π×{{12}^2}}}{{360}}$

$=360π-90π$

$=270π({c{\ \mathrm {m^2}}}).$