解:$(1)$设$A$型空调销售$x$台,则$B$型空调销售$(52-x)$台
根据题意,得$2000x+3000(52-x)=126000$
解得$x=30$,则$52-30=22($台$)$
答:$A$型空调销售$30$台,$B$型空调销售$22$台$.$
$(2)$销售额为$3$万元时,可得工资$5000+(30000-20000)×5\%=5500($元$)$
销售额为$4$万时,可得工资$5000+(30000-20000)×5\%+(40000-30000)×7\%=6200($元$)$
∵$5500<6060<6200$
∴销售员甲的销售额超过$3$万元但不超过$4$万元
设销售额为$y$元,则$5000+(30000-20000)×5\%+(y-30000)×7\%=6060$
解得$y=38000$
答:销售员甲本月的销售额为$38000$元$.$