解：$(1)$∵$∠AOC$：$∠BOC=3∶2$
∴设$∠AOC=3x$，则$∠BOC=2x$
根据题意，得$3x+2x=180°$，解得$x=36°$
∴$∠AOC=108°$，$∠BOC=72°$
$(3)∠AOD=2∠COE$，理由如下：
∵射线$∠COD=∠BOC$
∴$∠BOC=\frac {1}{2}∠BOD=\frac {1}{2}(180°-∠AOD)=90°-\frac {1}{2}∠AOD$
∵$∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°$
∴$∠AOD+(90°-∠COE)+(90°-\frac {1}{2}∠AOD)=180°$
∴$∠AOD=2∠COE$
