解：$(1)$∵$∠COD=90°$，$∠COE=40°$
∴$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-40°=50°$
∵$OE$平分$∠AOD$
∴$∠AOD=2∠DOE=100°$
∵$∠AOB=120°$
∴$∠BOD=∠AOB-∠AOD=120°-100°=20°$
$(2)$数量关系为$2α+β=60°$，理由：
∵$∠COD=90°$，$∠COE=α$
∴$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-α$
∵$OE$平分$∠AOD$
∴$∠AOD=2∠DOE=2(90°-α)=180°-2α$
∵$∠AOB=120°$
∴$β=∠AOD-∠AOB=180°-2α-120°=60°-2α$
即$2α+β=60°$
