$(1)解:∵∠B=∠C=90°，∴DC//AB, ∴∠BAD+∠CDA=180°$
$∵AE平分∠BAD,DE平分∠CDA, ∴∠EAD=\frac{1}{2}∠BAD,∠EDA=\frac{1}{2}∠CDA$
$∴∠EAD+∠EDA=\frac{1}{2}(∠BAD+∠CDA)=90°$
$∴∠AED=180°-(∠EAD+∠EDA)=90°$
$(2)证明:过点E作EF⊥AD于点F$
$∵AE平分∠BAD,∠B=90°,EF⊥AD,∴EF=EB$
$∵DE平分∠CDA,∠C=90°,EF⊥AD,∴EF=EC$
$∴EB=EC，即E是BC的中点\ $
