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$解:设△ABC的三边分别为a,b,c,由题意，不妨令a边上的高为4,b边上的高为12,c边上的高为x$

$∴S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4a=\frac{1}{2}×12b=\frac{1}{2}xc$

$∴4a=12b=xc，∴a=\frac{xc}{4},b=\frac{xc}{12}$

$∵a-b\lt c\lt a+b,∴\begin{cases}{ \frac {xc}{4}-\frac {xc}{12}\lt c }\ \\ { \frac {xc}{4}+\frac {xc}{12}\gt c } \end{cases}$

$∵c＞0,∴3＜x＜6$

$∵x为整数，∴x=4或5$

$∴第三条高的长度为4或5$

$解:(1)∵a,b,c是△ABC的三边长， ∴a-b-c＜0,b-c-a＜0,c-a-b＜0$

$∴原式=b+c-a+a+c-b+a+b-c=a+b+c$

$(2)若a是底边，则b=c，则2b+4=18，解得b=7，即b=c=7;$

$若a是腰，a=b，则2×4+c=18，解得c=10$

$而4+4＜10,不能构成三角形，舍去$

$∴b=c=7$

$(3)根据三角形三边关系和题意得\begin{cases}{ c\lt a+b}\ \\ { a+b+c≤37 } \end{cases}$

$ 即\begin{cases}{ a+5\lt a+a+2 }\ \\ { a+a+2+a+5≤37 } \end{cases}$

$解得3\lt a≤10$