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$ 解：(1)连接BD$

$ 在Rt△ABD中，BD^2 = AB^2+ AD^2=9^2+ 12^2=15^2$

$ 在△CBD中，CD^2 = 17^2，BC^2 = 8^2$

$ 而8^2+15^2=17^2，即BC^2 + BD^2 = CD^2$

$ ∴∠DBC=90°$

$ 则S_{四边形ABCD}= S_{△BAD}+ S_{△DBC}=\frac 12 \cdot AD \cdot AB+ \frac 12DB \cdot BC$

$=\frac 12×12×9+\frac 12×15×8$

$ = 114(平方米)$

$ (2)需费用114 ×350 = 39900(元)答：总共需投入39900元。$

$解：(1)若AB⊥AC$

$在Rt△ABC中， BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25m$

$(2)若BC=25m$

$在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²=15²-BD²$

$在Rt△ADC中，AD²=AC²-CD²=20²-(25-BD)²$

$∴15²-BD²=20²-(25-BD)²$

$∴BD=9$

$∴ AD=\sqrt{15²-9²}=12m$

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$解：(1)如图所示，将玻璃杯展开$

$过B作BC⊥MN于点C，则AB就是最短距离$

$由题意：AC=16－5.5－5.5=5(cm)$

$BC=\frac {1}{2}×24=12(cm)$

$在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²$

$即AB=\sqrt{AC²+BC²}=\sqrt{5²+12²}=13(cm)$

$答：若蜂蜜在杯外壁，则至少爬行13cm能吃到蜂蜜。$