$解：设四边形ABCD中∠BAD=120°，则所$
$指对角线只能是AC$
$再设△ABC是等边三角形，则△ACD是直角三 $
$角形$
$因为AC=2$
$所以 {S}_{△ABC}= \frac {1}{2}×2× \sqrt{3}= \sqrt{3}$
$由△ACD是直角三角形，如图有两种可能：$
$①AC是斜边，则 ∠AC{D}_1=30°，则 A{D}_1=1$
$所以 C{D}_1= \sqrt{3}$
$所以 {S}_{△AC{D}_1}= \frac {1}{2}×1× \sqrt{3}= \frac {\sqrt{3}}{2}$
$所以 {S}_{ABC{D}_1}={S}_{△ABC}+{S}_{△AC{D}_1}= \sqrt{3}+ \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$②AC是直角边$
$则 ∠{D}_2=30°$
$则 A{D}_2=4$
$所以 C{D}_2=2\sqrt{3}$
$所以 {S}_{△AC{D}_2}= \frac {1}{2}×2×2 \sqrt{3}=2 \sqrt{3}$
${S}_{ABC{D}_2}={S}_{△ABC}+{S}_{△AC{D}_2}= \sqrt{3}+2 \sqrt{3}= 3\sqrt{3}$
$综上可知这个四边形的面积为 \frac {3\sqrt{3}}{2}或 3\sqrt{3}$
