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$(1)（更多请点击查看作业精$

$灵详解）$

$(2)证明： \because A C \perp B C，$

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}，$

$\therefore \angle D C E=90^{\circ}，$

$又 \because C D=C E，$

$\therefore \triangle D C E 为等腰直角三角形，$

$\therefore D E^2=C D^2+C E^2=2\ \mathrm {C} D^2$

$\therefore D E=\sqrt{2}\ \mathrm {C} D$

$\because D E=A D+A E$

$且 A E=B D$

$\therefore A D+B D=\sqrt{2}\ \mathrm {C} D\ $

$解： (1) \because D 点在 x 轴上，$

$\therefore 纵坐标为 0，$

$\therefore-\sqrt{3} x+5 \sqrt{3}=0\ $

$\therefore x=5$

$\therefore D 的坐标 (5，0)$

$\because M 的坐标 (0， \sqrt{3})，$

$\therefore O M=\sqrt{3}$

$\because A C 是直径，$

$\therefore C B \perp A D$

$\therefore C B//OM，M 是圆心$

$\therefore M 是 A C 的中点$

$∴ B C=2\ \mathrm {O} M=2 \sqrt{3}.$

$(2)（更多请点击查看作业$

$精灵详解）$

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