$ 解：(1)∵AB是⊙O的直径，$
$ ∴∠ACB=90 °.$
$ ∵∠ABC=60 °，$
$ ∴∠BAC=180 °-∠ACB-∠ABC=30 °.$
$ ∴AB=2BC=4\ \mathrm {cm}，即⊙O的直径为4\ \mathrm {cm}．$
$ (2)CD切⊙O于点C，连接OC，则OC=OB=\frac {1}{2}×AB=2\ \mathrm {cm}．$
$ ∴CD⊥CO；∴∠OCD=90 °.$
$ ∵∠BAC=30 °，$
$ ∴∠COD=2∠BAC=60 °.$
$ ∴∠D=180 °-∠COD-∠OCD=30 °.$
$ ∴OD=2OC=4\ \mathrm {cm}.$
$ ∴BD=OD-OB=4-2=2(\ \mathrm {cm}).$
$ ∴当BD长为2\ \mathrm {cm}，CD与⊙O相切．$
$ (3)根据题意得：$
$ BE=(4-2t)\ \mathrm {cm}，BF=t\ \mathrm {cm}.$
$ 当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC.$
$ ∴BE：BA=BF：BC.$
$ 即：(4-2t)：4=t：2.$
$ 解得：t=1.$
$ 当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA.$
$ ∴BE：BC=BF：BA.$
$ 即：(4-2t)：2=t：4.$
$ 解得：t=1.6.$
$ ∴当t=1s或t=1.6s时，△BEF为直角三角形．$
