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第109页

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$ 证明：(1)连接DB$

$ 因为AB是圆O的直径$

$ 所以∠ADB=90°$

$ 所以∠CDB=90°$

$ 因为点E是BC的中点$

$ 所以DE=CE=\frac {1}{2}BC$

$ 所以∠EDC=∠C$

$ 因为OA=OD$

$ 所以∠A=∠ADO$

$ 因为∠ABC=90°$

$ 所以∠A+∠C=90°$

$ 所以∠ADO+∠EDC=90°$

$ 所以∠ODE=90°$

$ 所以OD⊥DE.$

$ (2)因为AB=12，∠BAC=30°$

$ 所以AD=6\sqrt{3}$

$ 因为OA=OD$

$ 所以∠A=∠ODA=30°$

$ 所以∠AOD=120°$

$ 设Rt△ADB斜边高为x$

$ 所以S_{△ADB}=\frac {1}{2}AB×x=\frac {1}{2}AD×DB$

$ 所以x=\frac {AD×DB}{AB}=3\sqrt{3}$

$ 所以S_{阴影部分}=S_{扇形OAD}-S_{△OAD}$

$ =\frac {120π×6²}{360}-\frac {1}{2}×6×3\sqrt{3}$

$ =12π-9\sqrt{3}.$

$ 解：(1)连接BD$

$ ∵AB是圆O的直径$

$ ∴∠ACB=90°$

$ 在Rt△ACB中， AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=8\ \mathrm {cm}$

$ ∵CD平分∠ACB$

$ ∴ ∠ACD=\frac 12∠ACB=45°$

$ ∴∠ABD=∠ACD=45°$

$ 在Rt△ABD中， AD^2+BD^2=AB^2$

$ ∵AD=BD$

$ ∴ AD=5\sqrt{2}\ \mathrm {cm}.$

$ (2)直线PC与圆O相切，理由如下：$

$ 连接OC、OD$

$ ∵△ABD是等腰直角三角形$

$ ∴OD⊥AB$

$ ∴∠ODE+∠OED=90°$

$ ∵PC=PE$

$ ∴∠ECP=∠CEP$

$ ∵OC=OD$

$ ∴∠OCE=∠ODC$

$ ∵∠CEP=∠OED$

$ ∴∠OCE+∠ECP=∠ODE+∠OED=90°$

$ ∴∠OCP=90°$

$ ∴直线PC是圆O的切线.$

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