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$解：作直径AD与BC交于点E，连接BD、CD$

$∵AD为直径$

$∴∠ABD=∠ACD=90°$

$在Rt△ABD和Rt△ACD中$

${{\begin{cases}{{AB=AC}}\\{AD=AD}\end{cases}}}$

$∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)$

$∴∠BAD=∠CAD，AD平分∠BAC$

$又∵AB=AC$

$∴AE⊥BC，∠AEB=90°$

$∵AP//BC\ \ \ ∴∠PAE=∠AEB=90° ∴AP与⊙O相切$

$解:作OM⊥AB于点M ,连接OA$

$圆半径 OA= \frac{1}{2}(DE + EC)= 6cm$

$OE= DE- OD = 3cm$

$在直角△OEM中，∠CEB= 45°\ $

$则 OM = \frac{\sqrt{2}}{2} OE=\frac{3\sqrt{2}}{2}cm\ $

$在直角△OAM中,根据勾股定理:$

$AM= \sqrt{OA^{2}-OM^{2}}= \sqrt{6^{2}-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}}= \frac{3\sqrt{14}}{2}$

$所以 AB= 2AM = 3\sqrt{14}cm$

$解:连接BF$

$因为四边形ABCD是矩形$

$所以∠CBA=∠BAD=90°$

$因为∠BAF=90°$

$所以BF^{2}=BA^{2}+AF^{2}$

$因为BF=BC=2，AB=1$

$BF^{2}=BA^{2}+AF^{2}$

$所以AF^{2}=BF^{2}-BA^{2}=2^{2}-1^{2}$

$=3$

$所以AF= \sqrt{3}$

$因为 AB=1，AF= \sqrt{3}$

$∠BAD=90°$

$所以 S_{△BAF}= \frac{1}{2}BA·AF= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$因为AB=1，BF=2$

$∠BAF=90°$

$所以∠BFA=30°$

$所以∠ABF=60°$

$因为∠ABF=60°$

$BE=BF=2$

$所以S_{扇形EBF}=\frac{60×π×2^{2}}{360}= \frac{2}{3}π$

$所以S_{阴影}=S_{扇形EBF}-S_{△BAF}$

$= \frac{2π}{3}- \frac{\sqrt{3}}{2}(cm^{2})$

$即扇形EBC被矩形所截剩余部分$

$的面积S为(\frac{2π}{3}- \frac{\sqrt{3}}{2})cm^{2}$