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$解:连接BC，OB$

$因为PA、PB是⊙O的切线$

$所以∠OAP=∠OBP=90°$

$因为AC是⊙O的直径$

$所以∠ABC=90°$

$因为∠BAC=40°$

$所以∠ACB=90°-∠BAC=50°$

$所以∠AOB=2∠ACB=100°$

$所以∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=80°$

$解:连接OB，作OE⊥AB于E$

$因为大半圆的弦AB平行于直$

$径CD$

$所以OE等于小圆的半径$

$因为OE⊥AB$

$所以 EB= \frac{1}{2}AB=8$

$在Rt△OBE中$

$OB^{2}=OE^{2}+EB^{2}$

$所以OB^{2}-OE^{2}=EB^{2}=64$

$S阴影=\frac{OB^{2}}{2}π- \frac{OE^{2}}{2}π$

$=32πcm^{2}$

$解:因为正方形ABCD的边长为a$

$所以其对角线的一半OC= \frac{\sqrt{2}}{2}a$

$所以第一次旋转的弧长= \frac{90π×\frac{\sqrt{2}}{2}a}{180}$

$而经过这样的四次旋转后就翻滚了一周$

$所以当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过$

$的路径长为 \frac{90π×\frac{\sqrt{2}}{2}a}{180}×4= \sqrt{2}πa$

$解：直线FC与⊙O相切$

$理由如下:连接OC$

$∵ OA=OC$

$∴∠OAC=∠OCA$

$由翻折，得∠OAC=∠FAC$

$∠F=∠AEC=90°$

$∴∠OCA=∠FAC$

$∴OC//AF$

$∴∠OCF+∠F=180°$

$∵∠F=90°$

$∴∠OCF=90°$

$即OC⊥CF$

$∴ 直线 FC与⊙O相切$

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