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$ 解：连接OP$

$ 若BP与圆O相切，则OP⊥PB$

$ ∵AB=OA，OA=OP$

$ ∴OB=2OP，∠OPB= 90°$

$ ∴∠B= 30° $

$ ∴∠POB=60°$

$ ∵OA=3\ \mathrm {cm}$

$ \widehat{AP}=\frac {60×π×3}{180}=π\ \mathrm {cm}$

$ ∵圆的周长为2×π×3=6π\ \mathrm {cm}$

$ ∴当t= 1s或5s 时，有BP 与圆O相切$

证明： $连接OE , DE$

$∵CD是圆O的直径$

$∴∠AED =∠CED =90° $

$∵G是Rt△AED的斜边中点$

$∴EG=\frac 12AD= DG$

$∴∠1 =∠2$

$∵OE= OD $

$∴∠3 =∠4$

$∴∠1+∠3 =∠2+∠4$

$∴∠OEG=∠ODG = 90°$

$故GE是圆O的切线$

$解：如图所示，当与PA相切时，切点记作点C，与PB的切点记作点D$

$∵圆O与PA相切，与PB相切$

$∴∠PCO=∠PDO=90°$

$∵OC=OD$

$∴OP是∠APB的角平分线$

$∴ ∠OPD=\frac 12∠APB=30°$

$∴OP=2OD=2$

$在Rt△POD中， PD=\sqrt{PO^2-OD^2}=\sqrt{3}，$

$即圆心O移动的距离为 \sqrt{3}$

解：作∠ABC、∠ACB的角平分线，相交于点D，

则点D即为亭子应修建的位置

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