解：$(1)$设第一次购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(2x+15)$件，
根据题意得，$20x+30(2x+15)=4450$，
解得$x=50$，
所以购进乙种商品$2x+15=2×50+15=115$，
答：第一次购进甲种商品$50$件，购进乙种商品$115$件；
$(2)$设第二次甲商品是按原价打$m $折销售，
第一次总利润为$(25-20)×50+(40-30)×115=1400($元$)$
根据题意得，$50×2×(25×\frac {m}{10}-20)+115×(40-30)=1400$，
解得$m=9$，
答：第二次甲商品是按原价打$9$折销售$.$
