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证明：∵$AD//BC$

∴$∠ADB=∠CBD$

∵$BD$平分$∠ABC$

∴$∠ABD=∠CBD$

∴$∠ABD=∠ADB$

∴$AB=AD$

证明：∵$△ A B C$是等边三角形

∴$∠A=∠B=60°$

∵点$D$、$E$分别在$ A B $、$ A C$边上，且$DE//BC$

∴$∠ADE=∠B=60°$

∴$∠AED=60°$

∴$∠A=∠ADE=∠AED=60°$

∴$△ADE$是等边三角形

证明： ∵$AB / / DE$

∴$∠B=∠D E C$

∵$E C=C D$

∴$∠D E C=∠E D C$

又$∠B=∠C$

∴$∠DEC=∠EDC=∠C$

∴$△DEC$为等边三角形

解：$BC=\frac 12AB$

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