解：$(1) $在$Rt \triangle A B C $中，∵$∠A C B=90°$，$A C=6$，$B C=8$
∴$A B=\sqrt {A C^2+B C^2}=\sqrt {6^2+8^2}=10$
∴$R t \triangle A B C $的面积$ =\frac {1}{2}\ \mathrm {A} C ·B C=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B ·C M$
∴$6 ×8=10\ \mathrm {C} M$
∴$C M=\frac {24}{5}$
$(2) $设$ C M=x$
在$ R t \triangle A M C $中，$A C=\sqrt {A M^2+M C^2}=\sqrt {x^2+3^2}$
在$ R t \triangle B M C $中，$B C=\sqrt {B M^2+M C^2}=\sqrt {x^2+12^2}$
在$ R t \triangle A B C $中，$A C^2+B C^2=A B^2$
故列得方程：$ x^2+3^2+x^2+12^2=15^2$
解得$x=6$
∴$C M=6$
