第60页 - 苏科版八年级（初二）数学学习与评价答案（上下册）

解：$(1)$勾股定理：

直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$

那么$a^2+b^2=c^2$

$(2)$图$1$的面积为：$S_{1}=\frac {1}{2}ab×3+a^2+b^2$

图$2$的面积为$S_{2}=\frac {1}{2}ab×3+c^2$

∵图$1$、图$2$的面积相等

∴$\frac {1}{2}ab×3+a^2+b^2=\frac {1}{2}ab×3+c^2$

∴$a^2+b^2=c^2$

解：$(1)$∵$AC⊥BD$，$∠CAD=45°$

∴$AC=DC$，$∠ACB=∠DCE=90°$

在$Rt△ABC$与$Rt△DEC$中

$\begin {cases}{AC=DC}\\{AB=DE}\end {cases}$

∴$Rt△ABC≌Rt△DEC(\mathrm {HL})$

∴$∠BAC=∠EDC$

∵$∠EDC+∠CED=90°$，$∠CED=∠AEF$

∴$∠AEF+∠BAC=90°$

∴$∠AFE=90°$

∴$DF⊥AB$

$(2)$∵$S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE}$

∴$\frac {1}{2}a^2+\frac {1}{2}b^2=\frac {1}{2}·c·DF-\frac {1}{2}·c·EF=\frac {1}{2}·c·(DF-EF)=\frac {1}{2}·c·DE=\frac {1}{2}c^2$

∴$a^2+b^2=c^2.$

解：$A B=\sqrt {A C^2+B C^2}=5\ \mathrm {cm} $

此时$A B=D E $、$ A C=D F $、$ B C=E F$

$ $故$\triangle ABC≌ \triangle DEF(\mathrm {SSS})$

∴$∠DFE=∠ACB=90° $

∴$\triangle DEF $是直角三角形