解:$(1)$如图所示,猜想一次函数关系.
$(2) $设$ y=kx+b$
由题意得$\begin {cases}{20k+b=15}\\{36k+b=23}\end {cases}$,解得$\begin {cases}{k=\frac {1}{2}}\\{b=5}\end {cases}$
∴$y=\frac {1}{2} x+5(x>0)$
$(3) $当$ y=24.5 $时,$\frac {1}{2} x+5=24.5$
$x=39$
∴他穿$39$码的鞋子