解：∵函数的解析式为$y=-2x+3$
∴当$x=0$时，$y=3.$当$y=0$时，$x=1.5$
即直线$y=-2x+3$经过点$(0$，$3)$，$(1.5$，$0)$
其图像如图所示
$(1)$根据图像知，当$y=0$时，$x=1.5$
即方程$-2x+3=0$的解是$x=1.5$
$(2)$根据图像知，当$y＜0$时，$x＞1.5$
即不等式$-2x+3＜0$的解集是$x＞1.5$
$(3)$∵$y=-2x+3$
∴当$y=-3$时，$x=3.$当$y=7$时，$x=-2$
根据图像知，$y$随$x$的增大而减小
∴当$-3≤y≤7$时，$x$的取值范围是$-2≤x≤3$
