解：$(1)$观察图像可知：
干旱前的蓄水量是$ 1200 $万立方米
$(2)$观察图形，可知变化线的图象为直线
可设$V=kt+b(k≠0)$
将$t=0$，$V=1200$；$t=50$，$V=200$
分别代入上式得$\begin {cases}{b=1200}\\{50k+b=200}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=-20}\\{b=1200}\end {cases}$
故$V $与$t $的函数解析式为$V=-20t+1200$
当$t=10$时，$ V=-20×10+1200=1000($万立方米$)$
同理将$t=23$代入$V=-20×t+1200$中，
得$V=740$万立方米
答：干旱持续$10$和$23$天，水库的蓄水量分别
为$1000$万立方米和$740$万立方米$.$
$(3)$当$V＜400$时，$400＞-20×t+1200$
解得$t＞40$
答：干旱持续$40$天后将发出严重干旱警报$.$
$(4)$结合实际可知当$V=0$时水库为干涸状态
所以$0=-20×t+1200$
解得$t=60$
答：干旱持续$60$天水库将干涸$.$
