解：$(1)$∵一次函数$y=(3\ \mathrm {m}-8)x+1-m $的图像与$y$轴的负半轴相交
∴$y$随$x$的增大而减小
∴$\begin {cases}{3m-8＜0}\\{1-m＜0}\end {cases}$
解得$1＜m＜\frac {8}{3}$
∵$m $为整数
∴$m=2$
$(2)$由$(1)$知，$m=2$，则该一次函数解析式为：$y=-2x-1$
∵$0＜y＜4$
∴$0＜-2x-1＜4$
解得$-\frac {5}{2}＜x＜-\frac {1}{2}$
