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$3\ \mathrm {cm}或21\ \mathrm {cm}$

$ 解：(1)如图所示$

$ (2)连接OA ，如图所示：$

$ 因为OP⊥AB .$

$所以AP=BP=\sqrt{OA²-OP²}=\sqrt{13²-5²}=12，$

$ 所以AB= 2AP=24$

$解：连接OC,$

$∵OE⊥CD且CD=600\,\,\text{m}$

$∴CF=\frac{1}{2}CD=300\,\,\text{m}$

$设OC=OE=\,\,x\,\,\text{m}，则OF=OE-EF=\left( x-90 \right) \,\,\text{m}$

$在Rt△OCF中，$

$OC^2=OF^2+CF^2$

$∴x^2=\left( x-90 \right) ^2+300^2$

$解得，x=545$

$∴OC=OE=545\,\,\text{m}$

$答：这段弯路的半径为545\,\,\text{m}.$

$ 解：作CE⊥AD，垂足为点E，连接CD，$

$ 在Rt△ACB中，AC=1，BC=2\sqrt{2}$

$ ∴AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3$

$ ∴CE=\frac {AC×BC}{AB}=\frac {2\sqrt{2}}{3}$

$ 在Rt△CDE中，$

$ ∵CD=CA=1，CE=\frac {2\sqrt{2}}{3}$

$ ∴DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\frac {1}{3}$

$ ∵CE⊥AD$

$ ∴AD=2DE=\frac {2}{3}$

$ ∴BD=AB-AD=3-\frac {2}{3}=\frac {7}{3}$