第28页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

证明：$(1)$∵$A E \perp A B$，$A F \perp A C$，

∴$∠BA E=∠CA F=90°$，

∴$∠BA E+∠BA C=∠CA F+∠BA C$，

即$ ∠EA C=∠BA F$，

在$ \triangle A B F $和$ \triangle A E C $中，

$\begin {cases}{A E=A B}\\{∠EA C=∠BA F}\\{A F=A C}\end {cases}$

∴$\triangle A B F \cong \triangle A E C(\mathrm {SAS})$，

∴$E C=B F$

$(2)$∵$\triangle A B F \cong \triangle A E C$，

∴$∠A E C=∠A B F$，

∵$A E \perp A B$，

∴$∠BA E=90°$，

∴$∠A E C+∠A D E=90°$，

∵$∠A D E=∠B D M ($对顶角相等$)$，

∴$∠A B F+∠B D M=90°$，

在$ \triangle B D M $中，

$∠B M D=180°-∠A B F-∠B D M=180°-90°=90°. $

∴$E C \perp B F$

解：$(1) $∵$D E \perp A B$，$ $可得$ ∠B F E=90°$，

∴$∠A B C+∠D E B=90°$，

∵$∠A C B=90°$，

∴$∠A B C+∠A=90°$，

∴$∠A=∠D E B$，

在$ \triangle A B C $和$ \triangle E D B $中，

$\begin {cases}{∠A C B=∠D B C}\\{∠A=∠D E B}\\{A B=D E}\end {cases}$

∴$\triangle A B C \cong \triangle E D B(A A S)$

∴$B D=CB$

$(2) $∵$\triangle A B C \cong \triangle E D B$

∴$A C=B E$，

∵$E $是$ B C $的中点，$ B D=8 \mathrm{cm}$，

∴$B E=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} B D=4 \mathrm{cm} .$

∴$AC=BE=4\ \mathrm {cm}$

解：$(1) $∵$A C $平分$ ∠B A D$，$ C E \perp A B$，$ C F \perp A D$

∴$C E=C F$，$ ∠C E B=∠C F D=90°$

在$ Rt \triangle B C E $与$ R t \triangle D C F $中

$\begin {cases}{C E=C F}\\{B C=D C}\end {cases}$

∴$ Rt \triangle B C E \cong R t \triangle D C F$

$(2) $由$(1)$得$ C F=C E$，

$∠A F C=∠A E C=90°$

在$ Rt \triangle A F C $与$ R t \triangle A E C $中

$\begin {cases}{A C=A C}\\{C F=C E}\end {cases}$

∴$R t \triangle A F C \cong R t \triangle A E C$

∴$A F=A E$

由$(1)$得$Rt \triangle B C E \cong R t \triangle D C F$

∴$B E=D F$

∵$A D=10$，$ B E=6$

∴$A F=A D+D F=A D+B E=16$

∴$A E=16$

∴$A B=22$