第136页 - 苏科版八年级（初二）数学学习与评价答案（上下册）

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解：$(1)$如图，过点$A$作$AM⊥BC$于点$M$

∵$△ABC$的面积为$84$，$BC=21$

∴$\frac {1}{2}×21×AM=84$

∴$AM=8$

∴$△ABC$的$BC$边上的高是$8$

$(2)①$在$Rt△AMB$中，$BM=\sqrt {AB^2-AM^2}=6$

∴$CM=BC-BM=15$

∴在$Rt△AMC$中，$AC=\sqrt {CM^2+AM^2}=17$

∴$DF=AC=17$

$②$当$AB=BE=10$时，$a=BE=10$

当$AB=AE=10$时，$BE=2BM=12$，则$a=BE=12$

当$EA=EB=a$时，$ME=a-6$

在$Rt△AME$中，$AM^2+ME^2=AE^2$

即$8^2+(a-6)^2=a^2$

解得$a=\frac {25}{3}$

则当$△ABE$是等腰三角形时，$a$的值为$10$或$12$或$\frac {25}{3}$

证明：$(1)$∵四边形$ABFE$和四边形$CBHI $是正方形

∴$AB=FB$，$HB=CB$，$∠ABF=∠CBH=90°$

∴$∠CBF=∠HBA$

∴$△ABH≌△FBC(\mathrm {SAS})$

$(2)$∵$AI//BH$

∴$S_{△ABH}=\frac {1}{2}S_{正方形BCIH}$

∵$CG//BF$

∴$S_{△ CBF}=\frac {1}{2}S_{矩形BDGF}$

又∵$△ABH≌△FBC$

∴$S_{△ABH}=S_{△CBF}$

∴$S_{正方形BCIH}=S_{矩形BDGF}$

即正方形$BCIH$的面积与四边形$BFGD$的面积相等

$(3)$同理可得，正方形$ACKJ$的面积与四边形$ADGE$的面积相等

∴$S_{正方形ACKJ}+S_{正方形BCIH}=S_{矩形ADEG}+S_{矩形BDGF}=S_{正方形ABFE}$

即$AC^2+BC^2=AB^2$

又∵$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=b$，$BC=a$，$AB=c$

∴$a^2+b^2=c^2$