解：当点$P $移动到$BP'⊥AC$时，$BP $取得最小值
过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$
∴$BD=\frac 12BC=3$
在$Rt△ABD$中，$AD=\sqrt {AB^2-BD^2}=4$
∵$S_{△ABC}=\frac 12BC · AD=\frac 12AC · BP'$
∴$BP'=\frac {BC · AD}{AC}=\frac {24}{5}$
∴$BP $的最小值为$\frac {24}{5}$
